Question

高等数学应用题

1.设排水阴沟的横断面积一定,断面的上部是一个半圆,下部是一个矩形.问圆的半径和矩形的高之比为何值时,建沟所用材料最省?

(在书上看到答案是 半径:高=1) 不知道是否正确

2.半径为r的圆内接矩形,问矩形长和宽为多少时,矩形的面积最大?
最大面积是多少?

(在书上看到答案是 长和宽都为2√r时,最大面积为4*r的平方) 不知道是否正确

本人是菜鸟,不需要知道用什么方法来计算.只是需要这两道应用题完整的计算过程和答案,请会做的朋友帮忙解决,谢了~~~~

Answer 1

设圆的半径为R，要用最省的材料做最大的水沟横截面，使半圆的直径=矩形的宽，设X为矩形的高，所以总面积S=派R^2/2+2R*X
而周长L=2派R/2+2（2R+X）=派R+4R+2X=（派+4）R+2X
=（派+4）R+2[S-派R^2/2]/2R=（派+4）R+S/R-派R/2
L'=派+4-0.5SR^(-3/2)-派/2
令L'=0
4+派/2-1/2*SR^(-3/2)=0
1/2*SR^(-3/2)=4+派
S=2（4+派）R^(3/2)=派R^2/2+2R*X,
2（4+派）R^(3/2)/X(3/2)=[派R^(3/2)R(1/2）/2]/X(3/2)+[2R^(3/2)R(-1/2)]/X^(3/2)X(-1/2)
[R^(3/2)]/X^(3/2)]=[派R^(1/2)+R(-1/2)/X^(-1/2)]/2(4+派）
这个比值很难求
2、设一条圆内接矩形的边长为X，另一条边长为Y，则(X/2)/R=SIN(A),（Y/2）/R=CON（A）二式两边分别平方再相加得
[（X/2）/R]^2+[(Y/2)/R]^2=1
X^2+Y^2=4R^2
两个数的平方和有定值，则当两个数相等时其积有最大值。
所以当X=Y时内接矩形（正方形）面积最大，其边长为1^2+1^2=2再开平方

Answer 2

首先这两个问题都不用高等数学的知识去解
1、建沟所用材料最省就是横截面的面积是最小的，所以当半圆形与矩形底部相切的时候面积最小，也就是这个矩形刚好装的下这个半圆形，那么举行的长等于半圆形的直径，矩形的宽等于半圆形的半径，所以半径:高=1：1。
2、举行面积最大就是正方形的时候最大，那么此时的长和宽都是为2√r（具体求法就是在圆中划出一个矩形，然后连接矩形的定点和圆心，用勾股定理就可以求了）