Question

已知函数f1(x)=x^2-2︱x︱,f2(x)=x+2,设g(x)=[f1(x)+f2(x)]/2-︱f1(x)-f2(x)︱/2,若a,b属于【-2,4】，且

且当x1,x2属于【-2,4】(x1不等于x2)时，[g(x1)-g(x2)]/(x1-x2)大于0恒成立，则b-a的最大值为

Answer 1

你的a，b跟公式的关系是没写对，还是怎么回事？
a、b在这题里没什么意义啊，出现得有点莫名其妙。。。
是不是x1，x2属于【a ，b】？

就我来看，这道题目应该是x1，x2属于【a ，b】，下面以此来解答，当然，如果不是，下面的解答对你也是有帮助的。

1、解题思路：
1.1、先审题，[g(x1)-g(x2)]/(x1-x2)大于0恒成立，就是说，g（x）函数在所求的区间段是严格单调递增的，实际上，这道题，就是求g（x）的单调递增区间。

1.2、对于求解有绝对值符号的题目，要考虑分区间：
因为有︱x︱，就要分x属于【-2,0】和x属于【0,4】；
另外，︱f1(x)-f2(x)︱，就可能要再进一步分区间。

2、具体解题过程
（1）当x属于【-2,0】时，
f1(x)=x^2-2︱x︱=x^2+2x，[f1(x)+f2(x)]/2=(x^2+3x+2)/2;
︱f1(x)-f2(x)︱=︱x^2+2x-x-2︱=︱x^2+x-2︱=︱(x-1)(x+2)︱
此时，x-1<0，x+2大于等于0，因此︱f1(x)-f2(x)︱= -（(x-1)(x+2)= - (x^2+x-2)；
g(x)=(x^2+3x+2)/2+(x^2+x-2)/2=x^2+2x=(x+1)^2-1；
1-<= g(x) <=0;
且在x属于【-2,-1】时,g(x)单调递减；在x属于【-1，0】时,g(x)单调递增；

（2）当x属于【0,1】时，
******************************下面这句话是注释********************************
这个区段的划分，主要考虑第（1）步的绝对值符号中中出现了(x-1)；
*************************************************************************************
f1(x)=x^2-2x，[f1(x)+f2(x)]/2=(x^2-x+2)/2;
因为x-1<=0，x+2>=0，所以
︱f1(x)-f2(x)︱= - (x^2+x-2)；
g(x)=(x^2+-x+2)/2+(x^2+x-2)/2=x^2；
0< g(x) <=1;，且在x属于【0,1】时,单调递增；

（3）当x属于【1,4】时，
f1(x)=x^2-2x，[f1(x)+f2(x)]/2=(x^2-x+2)/2;
因为x-1>=0，x+2>=0，所以
︱f1(x)-f2(x)︱=(x^2+x-2；
g(x)=(x^2+-x+2)/2 - (x^2+x-2)/2 = 2-x；
-2< =g(x) <=1;，且在x属于【1,4】时,单调递减；

综上所述，g（x）在【-2,-1】单调递减；在【-1,1】时,g(x)单调递增，在【1,4】时,单调递减。
因此，a，b属于【-1,1】，b-a最大值为2。

******************************************以下仍为注释**************************************************
%上面分三段区间，对g（x）进行求解，注意需要全部用闭区间。
%什么时候用开区间，什么时候用闭区间，这个多练习几道题目。
%g（x）的分段函数得到后，g（x）图很容易画，画出来，结论更容易下，百度这里图不好画，我就用单调性来描述了。

*************************为LP的考试攒RP，有问题欢迎追问*************************

Answer 2

数学归纳法：
f1(x)=x/(x+2)
f2(x)=f(f1(x))=x(x+2)/[x(x+2)+2]=x/[x+2(x+2)]=x/(3x+4)
...
设fk(x)=x/[(2^k-1)x+2^k]
则fk+1(x)=f(fk(x))=x/[(2^k-1)x+2^k]/{x/[(2^k-1)x+2^k]+2}=x/{x+2[(2^k-1)x+2^k]}=x/[(2^(k+1)-1)x+2^(k+1)]
所以对任意自然数n,都有fn(x)=x/[(2^n-1)x+2^n]

追问

谢谢你的回答，但是好像不是我问问题的答案