Question

过双曲线x^2-(y^2/3)=1的右焦点F2作倾斜角为30°的弦AB,则△F1AB的周长为

Answer 1

双曲线x^2-(y^2/3)=1
右焦点F2(2,0),左焦点F1(-2,0)
直线AB的倾斜角为30º，
b/a=√3,一三象限的渐近线的倾斜角为60º
∴A,B在双曲线的左右之上，不妨设A在左支
根据双曲线定义：
|AF2|-|AF1|=2a
|BF1|-|BF2|=2a
两式|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|
直线AB的参数方程为
{x=2+tcos30º
{y=tsin30º
代入x^2-(y^2/3)=1
(2+√3/2*t)²-t²/12=1
即2t²+6√3t+9=0
令A,B点对应的参数分别为t1,t2
∴t1+t2=-3√3,t1t2=9/2
∴|AB|=|t1-t2|=√[(t1+t2)²-4t1t2]=√(27-18)=3
|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|=|t1+t2|=3√3
∴△F1AB的周长为
|AB|+|AF1|+|BF1|=3+3√3

追问

哦NO,是文科，没学参数方程

追答

AB:y=√3/3(x-2)代入x^2-(y^2/3)=1
得x²-1/9*(x-2)²=1
即8x²+4x-13=0
A(x1,y1),B(x2,y2)
解得x1=（-1-3√3)/4,x2=(-1+3√3)/4
x2-2=(-9+3√3)/4
∴x1+x2=-1/2,x1x2=-13/8
∴|AB|=√(1+1/3)*√[(x1+x2)²-4x1x2]
=2/√3*√(1/4+26/4)
=3
| BF2|=√[(x2-2)²+y²2]=√[(x2-2)²+1/3(x2-2)²]=(3√3-3)/2
∴|AF2|=|AB|+|BF2|
∴△F1AB的周长为
|AB|+|AF1|+|BF1|=2|AB|+2|BF2|=6+3√3-3=3+3√3