Question

一题高中数学数列题（较难），题目见图片

Answer 1

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提取码：1234

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Answer 2

太简单了。你用数学归纳法试试！

追问

数学归纳法不可能的，右边是一个常数，不含n

追答

看这里。
点击[http://pinyin.cn/1tSk0noiJq5] 查看这张图片。上面的图

追问

怎么可以用“趋于1”呢？即使趋于1也有可能会小于2/3啊

追答

极限的概念里学过没？是必须趋于1的。

Answer 3

不知道楼主是否听说过伯努利不等式，详细可以见百度百科
在x>-1,0<r<1时有(1+x)^r<1+rx,
具体做法可以用导数
这样的话an=1-(1/4)*(1/4)^(n-1)>(1-1/4)^[(1/4)^(n-1)]
这里取x=-1/4,r=(1/4)^(n-1)，于是就有下界了
a1*...*an>(3/4)^[1+1/4+1/16....+(1/4)^(n-1)],由于3/4<1,
所以(3/4)^[1+1/4+1/16....+(1/4)^(n-1)]>(3/4)^(4/3)
可以直接验证，(3/4)^(4/3)>2/3,所以即证

追问

我知道这个不等式，但学校进度还没有讲到这里，即使我知道这种方法也不能用的，还有其他方法吗？

追答

其实我的确不清楚其它证法，主要是如何将一个很快收敛于1的式子做一个下界的问题，这个时候伯努利不等式是最好的。或者说楼主可以换一个别的方式表达伯努利不等式的意思。比如说不妨证明(1-1/4^n)>(1-1/4^(n-1))^(1/4),于是就可以递推得到特殊情况下的伯努利了