Question

如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，证此四边形是圆内接四边形

如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，证此四边形是圆内接四边形

Answer 1

用反证法证明：

∵不在一条直线上

∴A、B、C三点可以确定唯一的一个⊙O

假设D不在⊙O上，那么只有两种情况，一是在圆内，一是在圆外。

先假设D在圆内，延长BD，交⊙O于D'，连接AD'、CD'

则∠BAC=∠BD'C（同弧所对的圆周角相等）

∵∠BDC＞∠BD'C（三角形上的外角大于与之不相邻的内角）

∴∠BDC＞∠BAC

这与已知∠BDC=∠BAC相矛盾。

∴D不在圆内

用同样的方法可证明D不在圆外

∴D在圆上，即A、B、C、D四点共圆

Answer 2

证明：
∵ ∠BAC=∠BDC ，∠AOB=∠COD
∴ △AOB∽△COD
AO:OC=BO:OD ，∠AOD=∠BOC
∴ △AOD∽△BOC ，∠OAB=∠OBC
∠BAC+∠OAB=∠OBC+∠BDC
∠BAD= 180°-∠BCD
四边形对角互补，所以是圆内接四边形