Question

∫∫∫z^2dxdydz，其中Ω是两个球：x^2+y^2+z^2≤R^2和x^2+y^2+z^2≤2Rz(R>0)的公共部分。

答案是(59/480)πr^5 请问怎么做 能给下过程吗

Answer 1

很简单嘛，你想用哪个方法做？
用切片法的话就先取横截面
x² + y² + z² = R² 和 x² + y² + z² = 2Rz 的交点是
R² = 2Rz
即z = R/2
所以以平面z = R/2将两个球分开
分别是Ω1和Ω2
设Ω1：x² + y² + z² ≤ R²，z ≥ R/2，上面的球体
设Ω2：x² + y² + z² ≤ 2Rz，z ≤ R/2，下面的球体
对于Ω1，横截面Dz1：x² + y² ≤ R² - z²、R/2 ≤ z ≤ R
对于Ω2，横截面Dz2：x² + y² ≤ 2Rz - z²、0 ≤ z ≤ R/2
因此
∫∫∫Ω z² dxdydz
= ∫∫∫Ω1 + ∫判激衡∫∫Ω2
= ∫(R/2→R) z² ∫∫Dz1 dxdydz + ∫(0→R/2) z² ∫∫Dz2 dxdydz
= ∫(R/2→R) z² * π(R² - z²) dz + ∫(0→R/2) z² * π(2Rz - z²) dz
= π∫(R/2→R) (R²z² - z⁴) dz + π∫(0→R/2) (2Rz³ - z⁴) dz
= π[R²z³/3 - z⁵/5]：(R/2→R) + π[Rz⁴/2 - z⁵铅正/5]：(0→R/2)
= π[R⁵/3 - R⁵/5] - π[R⁵/24 - R⁵/160] + π[R⁵/32 - R⁵/掘做160]
= (47/480)πR⁵ + (1/40)πR⁵
= (59/480)πR⁵

Answer 2

把积分区域分为两个部扒明斗分 那两个部分你懂的，截面面积很容易求，所以用截面法先对xy再对z积分，前一个其实就是槐纯截面面积πr²=π（x²+y²）=f（z）最后得到的是春磨两个关于z的定积分，加之