Question

急死了！！求高人帮忙解一道高二数学题！！

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+k满足f'（1）=f'（-2/3）=0
1.求a,b的值及函数f（x）单调增区间
2.若对x属于[-1，2]，不等式f（x）＜k2恒成立，求k的取值范围
解答题格式！！谢谢！！

Answer 1

1、f′(x)=3x²+2ax+b;
f′(1)=3+2a+b=0(1)
f′(-2/3)=4/3-4a/3+b=0;(2)
(1)-(2)得：10a/3+5/3=0;
a=-1/2;
带入（1）得：3-1+b=0；
b=-2；
∴f′(x)=3x²-x-2=(3x+2)(x-1);
f′(x)≥0;即x≥1或x≤-2/3时，单调递增；
f′(x)≤0,即-2/3≤x≤1时，单调递减；
所以单调递增区间为[1,﹢∞﹚∪(﹣∞,-2/3];
单调递减区间为[-2/3,1]
2、x∈[-1,2].
极大值f(-2/3)=-8/27-2/9+4/3+k=22/27+k;
f(2)=8-2-4+k=2+k;
∴f(2)＞f(-2/3)
∴f(2)是x∈[-1,2]之间最大值；
∴f(2)=2+k＜k²;
k²-k-2＞0;
(k-2)(k+1)＞0;
∴k取值范围为k＞2或k＜-1；

如果本题有什么不明白可以追问，如果满意记得采纳
如果有其他问题请采纳本题后另发点击向我求助，答题不易，请谅解，谢谢。
祝学习进步

Answer 2

(1)f(x)=x^3+ax^2+bx+k,f’(x)=3x^2+2ax+b,f”(x)=6x+2a,
∵f'（1）=f'（-2/3）=0，
∴3+2a+b=0,4/3-4/3*a+b=0,
联立解得：a=-1/2,b=-2
则f(x)=x^3-1/2*x^2-2x+k, f’(x)=3x^2-x-2,f”(x)=6x-1,
令f’(x)=3x^2-x-2=0，
解得：x=-2/3,x=1
当x=-2/3时,f”(x)<0,此点有极大值=22/27+k；
当x=1时,f”(x)>0,此点有极小值=-3/2+k，
所以，函数的单调增区间为：x∈(-∞,-2/3]U[1,+∞]
(2)当x=-2/3时, f(x)= 22/27+k<k^2，
当x=1时,f(x)= -3/2+k <k^2;
当x=-1时,f(x)=1/2+k<k^2;
当x=2时，f(x)=2+k<k^2,解得：k<-1, k>2，
所以，k的取值范围是：k<-1, k>2

Answer 3

解：
1、
∵f(x)=x³+ax²+bx+k
∴f'(x)=3x²+2ax+b
∵f'（1）=f'（-2/3）=0
∴3+2a+b=0
3（-2/3）²+2a（-2/3）+b=0
∴a=-1/2，b=-2，
故f'（x）=3x²-x-2，f（x）=x³-（1/2）x²-2x+k
令f'（x）>0，x<-2/3或x>1
f（x）单调增区间为（-∞，-2/3）∪（1，+∞）
2、
f（x）在[-1，1]单调减，在[1,2]单调增
在[-1，2]内，不等式f（x）＜k²恒成立，只要f（x）的最大值小于k²即可
∵（-1）=1/2+k<f（2）=2+k，
∴f（2）为最大值
∴2+k＜k²
∴k<-1或k>2，即（-∞，-1）∪（2，+∞）

Answer 4

f'（x）=3x^2+2ax+b
f'（1）=3+2a+b=0
f'（-2/3）=4/3-4/3a+b=0
解得：a=-1/2，b=-2，故f'（x）=3x^2-x-2，f（x）=x^3-1/2x^2-2x+k
令f'（x）>0，x<-2/3或x>1
f（x）单调增区间为（-∞，-2/3）∪（1，+∞）
f（x）在[-1，1]单调减，在[1,2]单调增，
f（-1）=1/2+k<f（2）=2+k，故f（2）为最大值
2+k＜k^2
k<-1或k>2，即（-∞，-1）∪（2，+∞）

Answer 5

1、f'(x)=3*x^2+2ax+b
f'(1)=3+2a+b=0
f'(-2/3)=4/3-4/3*a+b=0
得到a、b
然后f'(x)>=0得到x范围为单调增区间
2、根据单调性画出f（x）在-1到2范围内的大概曲线，得出其在【-1,2】范围内最大值Max

Answer 6

求导自己算哈呗，其实很简单的，自己动手更好