Question

在直角三角形ABC中，角BAC等于90度，AB等于AC，D为BC上任意一点，求证2AD的平方等于BD的平方加CD的平方

Answer 1

用射影定理：过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F
设x=DF，y=DE,a=BD,b=CD
x/AB=b/BC,y/AC=a/BC
x^2/AB^2=b^2/BC^2 ①
y^2/AC^2=a^2/BC^2 ②
①+②=(x^2+y^2)/AB^2=(a^2+b^2)/BC^2
∵BC^2=2AB^2
∴2(x^2+y^2)/BC^2=(a^2+b^2)/BC^2
2(x^2+y^2)=(a^2+b^2)
2AD^2=BD^2+CD^2

Answer 2

用射影定理。