Question

在三角形ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinB=5/13,且a,b,c成等比数列，

在三角形ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinB=5/13,且a,b,c成等比数列，(1)求cotA+cotC的值(2)若AB向×BC向=–12，求a+c的值

Answer 1

1. 由已知 b^2=ac sinB=5/13 则 B是锐角 且cosB=12/13
化弦化简 cotA+cotC=...=sinB/(sinAsinc)
=(13/5)*(sinBsinB)/(sinAsinC)=(13/5)*(b^2)/(ac)=13/5
2. AB向×BC向=ac(cos(π-B))=(-12/13)ac=-12
得 ac=13
由（1） b^2=ac cosB=12/13
余弦定理 b^2=a^2+c^2-2ac cosB
将上3个条件代入得 a^2+c^2=37 （a+c)^2=37+26=63
所以 a+c=3√7

不明白可追问。
祝你进步！

Answer 2

a,b,c成等比数列
b^2=ac
sin^2B=sinAsinC
cotA+cotC=cosA/sinA+cosC/sinC=(sinCcosA+cosCsinA)/sinAsinC
=sin(A+C)/sinAsinC=sinB/sinAsinC=sinB/sin^2B=1/sinB
所以cotA+cotC=1/sinB＝1/5/13=13/5
2)若AB向×BC向=–12，
AB向×BC向=-accosB=–12
accosB=12.C>B
cosB=12/13
ac=13
b^2=a^2+c^2-2accosB
ac=a^2+c^2-2*ac*12/13
a^2+c^2=37
(a+c)^2=37+2ac=63
a+c=根号63