Question

（2012•锦州）已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点

（2012•锦州）已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC-CD．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。
∴△BAD≌△CAF（SAS）。 ∴∠ACF=∠ABD=45°。∴∠ACF+∠ACB=90°。∴BD⊥CF 。
② 由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，
∵BD=BC-CD，∴CF=BC-CD。
（2）CF=BC+CD。
（3）①CF=CD-BC 。
②△AOC是等腰三角形。理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。则∠ABD=180°-45°=135°。
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠DAF -∠BAF，∠CAF=∠BAC -∠BAF，∴∠BAD=∠CAF。
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。
∴∠FCD=∠ACF -∠ACB =90°，则△FCD为直角三角形。
∵正方形ADEF中，O为DF中点，∴OC= DF 。
∵在正方形ADEF中，OA= AE ，AE=DF，∴OC=OA。∴△AOC是等腰三角形。
【考点】动点问题，正方形的性质，等腰（直角）三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质。
【分析】（1）由已知，根据正方形和等腰直角三角形的性质，通过SAS证出△BAD≌△CAF，从而得到
∠ACF=∠ABD=45°，即可证得BD⊥CF。
　　　　　　由△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=BC-CD，从而CF=BC-CD。
（2）同（1）可证△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=BC＋CD，从而CF=BC＋CD。
（3）①同（1）可证△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=CD－BC，从而CF= CD－BC。
②通过SAS证明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。从而得到∠FCD=90°。
由三角形中线的性质得到OC= DF。由正方形ADEF中，OA= AE ，AE=DF，从而得到△AOC是等腰三角形

Answer 2

（1）①∵∠BAC=90°AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=45° ∵四边形ADEF是正方形 ∴AD=AF∠DAF=90° ∵∠BAD=∠BAC-∠DAC ∠CAF=∠DAF-∠DAC ∴∠BAD=∠CAF ∴△BAD≌△CAF „„„„„„„„„„„„3分 ∴∠ACF=∠ABD=45° ∴∠ACF+∠ACB=90° ∴BD⊥CF „„„„„„„„„„„„4分 ② 由①△BAD≌△CAF可得BD= CF ∵BD=BC-CD ∴CF=BC-CD „„„„„„„„„„„„6分 （2)CF=BC+CD „„„„„„„„„„„„7分 
（3）①CF=CD-BC „„„„„„„„„„„„8分 ②∵∠BAC=90°AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=45°则∠ABD=180°-45°=135° ∵四边形ADEF是正方形 ∴AD=AF∠DAF=90° ∵∠BAD=∠DAF -∠BAF ∠CAF=∠BAC -∠BAF ∴∠BAD=∠CAF ∴△BAD≌△CAF „„„„„„„„„„„„„9分 ∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135° ∴∠FCD=∠ACF -∠ACB =90°则△FCD为直角三角形 ∵正方形ADEF中O为DF中点 ∴OC=21DF „„„„„„„„„„„„10分 ∵在正方形ADEF中OA=21AE AE=DF ∴OC= OA∴△AOC是等腰三角形 „„„„„„„„„„„12分
有点乱，对不起，希望有用，望采纳==有问题问我，Q：1425231299

Answer 3

热二二oiuo

Answer 4

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