Question

求函数的定积分！！打钩那两题我做对了吗？





Answer 1

第一题结果：
π - 2

第二题结果：
(1/2)[e^(π/2) - 1]

注意原式在后面的运算过程中会循环出现的，将它移到左边去。
如果对于积分限有混乱的话，可以先把不定积分算出来，然后再代入积分限

追问

我看到书本类似的例题，为什么我那样做不对呢？

追答

你没发现第二步就把e^x弄没了吗？这是不可能的
∫ e^x*cosx dx = ∫ cosx de^x，注意分部积分法的方法
= e^x*cosx - ∫ e^x d(cosx)，两个函数调换了位置
= e^x*cosx - ∫ e^x * (- sinx) dx，再来一个分部积分
= e^x*cosx + ∫ sinx de^x
= e^x*cosx + e^x*sinx - ∫ e^x d(sinx)
= e^x*cosx + e^x*sinx - ∫ e^x*cosx dx，最后一项跟原式重复，移过左边
2∫ e^x*cosx dx = e^x*(cosx + sinx)
于是∫ e^x*cosx dx = (1/2)*e^x*(cosx + sinx)，代入积分限可以了

第二个也是同样方法：这里你错的最严重的地方就是竟能将x²和sinx拆开了？那可是乘积关系呢？
∫ x²sinx dx
= ∫ x² d(- cosx)
= - x²cosx + ∫ cosx d(x²)
= - x²cosx + ∫ cosx*2x dx
= - x²cosx + 2∫ x d(sinx)
= - x²cosx + 2xsinx - 2∫ sinx dx
= - x²cosx + 2xsinx + 2cosx + C

这里分部积分法就是先把一个函数弄进d里，是积分过程
例如第一个的e^x dx = d(e^x)和第二个的sinx dx = d(- cosx)
调换位置后就是换做另一个函数在d里面了，于是将其拉出来，是微分(求导)过程
例如d(sinx) = cosx dx和d(x²) = 2x dx

追问

我是被这道题给混淆了，这是老师给出的例题？这个不对吗？

追答

不对，你怎么能将乘积的关系变为加减关系的？
难道a*b = a + b吗？
这个性质只有对数函数才能用，ln(ab) = ln(a) + ln(b)，ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
∫(1→e) lnx/x² dx
= ∫(1→e) lnx d(- 1/x)
= - 1/x * lnx |(1→e) + ∫(1→e) 1/x d(lnx)
= - 1/e * lne + 1 * ln(1) + ∫(1→e) 1/x² dx
= - 1/e - 1/x |(1→e)
= - 1/e - (1/e - 1)
= 1 - 2/e
= (e - 2)/e

Answer 2

u=arcsinx
du=1/sqrt(1-x^2)dx
v'=dx
v=x
uv-integralvdu
=xarcsinx+sqrt(1-x^2)
代入 1/2 0 pi/6-0+sqrt(3)/2-1

追问

什么东西啊....我问打钩那两题，没有问第四题，而且你写的是什么玩意啊？不怎么正规的。。。

追答

这叫部分积分法。 电脑打不了很平方根，打不了积分符号。 sqrt平方根， intergral 积分符合。 国际上都这么用。

追问

谢谢哈，莫怪我见识短啊，搞懂那两道在看看这道吧