Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2,3），线段AB垂直于y轴,垂足为B，将线段AB绕点A逆

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2,3），线段AB垂直于y轴,垂足为B，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90度，点B落在点C处，直线BC与x轴交于点D。
(1）点c的坐标是（ ）,点D的坐标是（ ）
（2）试求经过A、B、D三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E的坐标.
大致图像是B点在y轴的正半轴上，点A，C，D都在第一象限。点A纵坐标与B点纵坐标一样，点D在x轴上。

Answer 1

解：（1）点C的坐标为（2，1）
设直线BC的表达式为y=mx+n（m≠0）．
易得

n＝3
2m+n＝1

，
解得

m＝−1
n＝3

，
所以直线BC的表达式为y=-x+3．
当y=0时，0=-x+3，x=3．
所以点D的坐标为（3，0）．

（2）设经过A、B、D三点的抛物线的表达式
为y=ax2+bx+c（a≠0）
易得

4a+2b+c＝3
c＝3
9a+3b+c＝0

解得

a＝−1
b＝2
c＝3

因此，所求的抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．
其顶点E坐标为 （1，4）．

（3）点F在y=-x2+2x+3的对称轴（即直线x=1）上，所以设点F的坐标为（1，m）．
由题意可得 AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，∠ACD=180°-∠ACB=135°．
所以若以A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似，△AEF必有一个角的度数为135°，
由此可得点F必定在点E的上方，∠AEF=∠ACD=135°，EF=m-4
所以当
EF
CA
=
EA
CD
或
EF
CA
=
CD
EA
时，
以A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似．
由点D（3，0）、C（2，1）、A（2，3）、E（1，4）
易得AC=3-1=2，CD=
2
，AE=
2
．
∴
m−4
2
=

2

2

或
m−4

2

=

2

2
．
解得 m=6或m=5．
故符合题意的点F有两个，其坐标为（1，5）或（1，6）．

Answer 2

(1)∵AB=AC
∴C(2,3-1)
即C(2,1)
又∵B(0,3)
∴直线AB方程为:y=-x＋3
∴当y=0时 x=3
∴D(3,0)
(2)设抛物线方程为y=ax∧2 ＋bx＋c
∵A(2,3) B(0,3) D(3,0)在抛物线上
∴4a＋2b＋c=3
c=3
9a＋3b＋c=0
解得a=-1/2
b=1
c=3
∴抛物线表达式为y=-1/2x∧2＋x＋3
顶点为E(1,7/2)

Answer 3

图在哪里？

追问

上传不了