Question

高数重积分，问倒数两步的具体过程

Answer 1

从第一个等式到第二个是用了三重积分定义
即先确定一个变量的上下界，然后用截面，而截面就是x^2+y^2+z^<=1
换言之，x^2+y^2<=1-z^2
然后因为e^z不是x,y的函数，所以其实就是对1在截面上积分
我们知道二重积分如果被积函数是1，表面积分结果就是这个区域Dz的面积
因为Dz是个圆盘x^2+y^2<=1-z^2=r^2
所以面积即为πr^2=π(1-z^2)
最后的结果对于z^2e^z的部分需要做两次分部积分
然后即得
忽略系数
∫ z^2e^zdz
=∫ z^2d(e^z)
=z^2e^z-2∫ ze^zdz
=z^2e^z-2∫ zd(e^z)
=z^2e^z-2[ ze^z-∫e^z dz]
=(z^2-2z+2)e^z+C
然后代入上下限，相减即得

Answer 2

∫∫dxdy=(1-z^2)π
1-z^2是一个变量圆的R^2

Answer 3

定积分：先求出定义域，然后对x积分（或对y积分），再对y积分（或x积分），根据定义域确定先对x还是y积分方便。