Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点。 (1）求直线AA1与平面AC1E所成角的大小

Answer 1

解：如图，作A1F⊥AC1于F，连结EF、A1E、A1C1，则

∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，AB＝BC＝1，AA1＝2

∴AA1⊥A1C1，顺次可求得

A1C1=A1E=C1E=AE=√2

AC1=√6

A1F=2√2/√6=2/√3

C1F=√6/3

在等腰△AEC1中，作出底边上的高后可求出

EF²=2/3

于是

EF²+A1F²=A1E²

∴A1F⊥EF（勾股定理的逆定理）

又∵A1F⊥AC1，EF∩AC1=F

∴A1F⊥面AC1E

∴∠A1AF就是直线AA1与平面AC1E所成的角

又∵sin∠A1AF=A1F/AA1=√3/3

∴∠A1AF=arcsin(√3/3)