Question

1.设z=z(x,y)是由方程式e的z次方=xyz所含的隐函数,求dz 2.计算出曲面z=2-x^-y^2与xoy坐标面所围成的体积

Answer 1

（1）e^z=xyz，等式两端分别微分：(e^z)dz=(xy)dz+(xz)dy+(yz)dx；
(e^z -xy)dz=(yz)dx+(xz)dy；
dz=[yz/(e^z-xy)]dx+[xz/(e^z-xy)]dy=[z/(xz-x)]dx+[z/(yz-y)]dy；
（2）曲面 z=2-x²-y² 为一伞形曲面，当 z=2 时，x=y=0；当 z=0（xoy 平面） 时，曲面与 xoy 平面的交线为圆 x²+y²=2，z=0~2 之间曲面围成的封闭空间是一圆锥体；
V=πr²*h/3=π(√2)²*2/3=4π/3；

Answer 2

1 e^z=xyz
e^zz'x=yz+xyz'x z'x=yz/(xy-e^z)=yz/(xy-xyz)=z/(x-xz)
类似 z'y=z/(y-yz)
dz=[z/(x-xz)]dx+[z/(y-yz)]dy
2.立体在xoy坐标面的投影D：x^2+y^2《2
V=∫∫(2-x^2-y^2)dxdy，用极坐标
=∫(0,2π)dθ∫(0,√2)r(2-r^2)dr
=2π(2-1)
=2π