Question

初三数学题：如图，已知菱形ABCD中角B=60度，E为AB上一点，F为AD上一点，且角CEF=60度

初三数学题：如图，已知菱形ABCD中角B=60度，E为AB上一点，F为AD上一点，且角CEF=60度
（1）若BE=2，EC=根号39，求AB的长。
（2）求证：BC=AF+AE

图自己画

Answer 1

1、在△BEC中使用余弦定理得
BE²+BC²-CE² = 2cos∠B X BE X BC
推的2²+BC²-39/2×2BC=cos60°=1/2
解得BC=7
因为四边形ABCD是菱形，所以AB = BC =7;
2.证明：
∵四边形ABCD是菱形，四边相等，∠B=60º
∴⊿ABC，⊿ACD均为等边三角形，BC=AC，∠B=∠CAD=60º
在AB上截取BG=AF，连接CG，CF
则⊿BCG≌⊿ACF（SAS）
∴CG=CF，∠BCG=∠ACF
∵∠BCG+∠ACG=∠ACB=60º
∴∠GCF=∠ACF+∠ACG=60º
∴⊿GCF是等边三角形
∴G点在CF的垂直平分线上【到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上】
∵CE=EF
∴E点也在CF的垂直平分线上
∴G点和E点重合【CF的垂直平分线与AB只有一个交点】
即BE=BG=AF
∴BC=AB=AE+BE=AE+AF

Answer 2

根据余弦定理公式，得
EC²=EB²+BC²-2EB*BC*cosB
即39=2²+BC²-2*2*BC*(1/2)
BC²-2BC-35=0
解得BC=7或-5(不合题意，舍去）
所以BC=CD=DA=AB=7

连结AC,交EF于G
在△AFG和△ECG中
∵∠FAG = ∠GEC = 60°
∵∠AGF = ∠EGF
∴△AFG∽△ECG
∴FG：CG = AG：EG
∴△FCG∽△AEG
∴∠EAG = ∠CFG
∵∠EAG= 60°
∴∠CFG = 60°
∴△EFC是等边三角形
EF=FC=EC
∵∠B= 60° AB=BC
∴△ABC是等边三角形
AB=AC=BC
在△AFC和△EBC中

∵∠B=∠FAC=60
AC=BC
EC=FC
∴△AFC≌△EBC
∴AF=BE
∴AB=BC=AE+BE=AE+AF
即BC=AE+AF

Answer 3

1)作EH垂直于BC交于H，设AB=X，BH=1/2BE=1,EH=根号3,
HC=BC-CH=X-根号3
EC^2=EH^2+HC^2
39＝3+（X－根号3）……2
X=7
所以AB=7
在BC上截取BG=BE,易知，⊿BEG为等边三角形，∠EGC=120º
因AB=BC,BG=BE
AE=CG
在⊿AEF和⊿ECG中
AE=CG,∠EAF=∠EGC=120度,，∠AEF=∠ECG
⊿AEF≌⊿ECG（SAS)
AF=EG,AE=CG,EG=BG
AF=EG=BG
BC=BG+CG=AF+AE

Answer 4

1、余弦定理
cos60°=2²+BC²-39/2×2BC=1/2
解得BC=AB=7