Question

问一道求微分方程的题！

我令t=x+1
只能做到(3y-7t)dt+(7y-3t)dy=0
然后怎么做啊？答案是：(y-x+1)^2(y+x-1)^5=0

Answer 1

楼主你好

令t=x-1 代入：(3y-7t)dt+(7y-3t)dy=0
dy/dt= -(3y-7t)/(7y-3t)= -(3y/t-7)/(7y/t-3)
令y/t=u y= ut，  y'=u+tu'

追问

不应该是t=x+1么？

追答

换元本就是为了简化计算的，(3y-7x+7)dx+(7y-3x+3dy)=[3y-7(x-1)]dx+[7y-3(x-1)]dy，当然令t=x-1，才方便计算的，呵呵！

Answer 2

t=x-1 代入：(3y-7t)dt+(7y-3t)dy=0
dy/dt= -(3y-7t)/(7y-3t)= -(3y/t-7)/(7y/t-3)
令y/t=u y= ut y'=u+tu'
u+tu'=-(3u-7)/(7u-3)
tu'=-(3u-7)/(7u-3)-u=(7-7u^2)/(7u-3)
(7u-3)du/(1-u^2)=7dt/t
[2/(1-u)-5/(1+u)]du=7dt/t
-2ln(1-u)-5ln(1+u)=7lnt-lnC
(1-u)^2(1+u)^5t^7=C
(t-ut)^2(t+ut)^5=C
通解：
(x-1-y)^2(x-1+y)^5=C

追问

[2/(1-u)-5/(1+u)]du=7dt/t
-2ln(1-u)-5ln(1+u)=7lnt-lnC
这一步怎么来的呀，我不太会算。。

Answer 3

(3y-7x+7)dx+(7y-3x+3)dy=0

(3y-7(x-1))dx+(7y-3(x-1))dy=0

(3y-7(x-1))d(x-1)+(7y-3(x-1))dy=0

(3y-7u)du+(7y-3u)dy=0

(3y-7u)du+(7y-3u)dy=0

dy/du= -(3y-7u)/(7y-3u)

设y/u=p

追问

然后呢？我也是做到这一步。然后怎么解啊？

追答

然后 用p（u） 代换 相应的 y

明白？？

追问

p·u，代替Y？

追答

是的
p*u=y
有
p+p‘u=y’

消去y

p+p‘u=-(3p-7)/(7p-3)

追问

dy/du=(dp/du)*u+p？或者您继续写完吧，我会追加分的