Question

求问一道求微分方程通解的题目

这个怎么令啊？难道是令t=x+y？

Answer 1

换元。原方程可以变形成dy/dx=-(x+y)/(3(x+y)-4)，令u=x+y，则dy/dx=du/dx-1，所以方程化成du/dx-1=-u/(3u-4)，这是一个变量可分离的方程。
通解是2x+2y-4=Cxe^(-3(x+y)/2)

追问

令u=x+y，则dy/dx=du/dx-1。则后面的怎么求出来的？我当时令u=x+y了，但是dy,dx都求不出来。

追答

上面的步骤应该写得很明白了吧。
如果没有对方程变形，那么可以把dy=du-dx代入，最后剩下dx,du。

Answer 2

难道是令t=x+y？---------对，就这么做。是正解。

追问

可是后面的式子里，有dx，但是没有x了呀。怎么求？

追答

dt=dx+dy
tdx=(3t-4)(dt-dx)
dx=[(3t-4)/(2t-4)]dt
两边再积分就行了。

追问

哦，可是然后积分怎么求啊？另外dx=[(3t-4)/(4t-4)]dt吧？

追答

对，积出来后回代就行了。
最后，你只要求一下导就知道你是否求得对了。

追问

我不会求积分了。。[(3t-4)/(2t-4)]dt的积分怎么求。。

追答

dx=(1/2)[3+2/(t-2)]
x=(1/2)[3t+2ln︱t-2︱]+c
故，所求通解为：
2x=3(x+y)+2ln︱x+y-2︱+c