Question

求下列极限lim趋于0(tanx-x)/(x^2sinx) 求救啊

Answer 1

具体回答如下：

极限lim趋于0(tanx-x)/(x^2sinx) 

=极限lim趋于0(tanx-x)/x^3 

=极限lim趋于0(1/cos^2(x)-1)/(3x^2) 

=极限lim趋于0sin^2(x)/(3x^3)*1/cos^2(x)

=1/3 

几何意义：

在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。

换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

Answer 2

原式=lim(x→0)(tanx-x)/x^3 （等价无穷小）
=lim(x→0)(1/cos^2(x)-1)/(3x^2) （洛必达法则）
=lim(x→0)sin^2(x)/(3x^3)*1/cos^2(x)
=1/3 （等价无穷小）

Answer 3