Question

求微分方程xy´+y=xe^x的通解

Answer 1

具体回答如下：

∵xy'+y=xe^x ==>(xy)'=xe^x

∴原方程的通解是xy=(x-1)e^x+C （C是积分常数）

∵当x=1时，y=1

∴代入通解，得C=1

故所求解是xy=(x-1)e^x+1

约束条件：

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

Answer 2

微分方程xy´+y=xe^x的通解为y=((x-1)/x)*e^x+C2（其中C2为常数）。

解：已知xy´+y=xe^x，

而d(xy)/dx=y+x*dy/dx，

即(xy)´=xy´+y，

那么xy´+y=xe^x可变换为(xy)´=xe^x，

则xy=∫xe^xdx，

xy=(x-1)*e^x+C1（其中C1为常数），

则y=((x-1)/x)*e^x+C2（其中C2为常数）。

即微分方程xy´+y=xe^x的通解为y=((x-1)/x)*e^x+C2（其中C2为常数）。

扩展资料：

微分方程的解

1、一阶线性常微分方程的解

对于一阶线性常微分方程y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解为y=C(x)*e^(-∫p(x)dx)。然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

2、二阶常系数齐次常微分方程的解

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解。

对于二阶常系数齐次常微分方程y''+py'+qy=0，可求得其通解为y=c1y1+c2y2。

然后可通过其特征方程r^2+pr+q=0来求解二阶常系数齐次常微分方程的通解。

（1）当r1=r2，则有y=(C1+C2*x)e^(rx)，

（2）当r1≠r2，则有y=C1*e^(r1x)+C2*x*e^(r2x)

（3）在共轭复数根的情况下，y=e^(αx)*(C1*cos(βx)+C2*sin(βx))

参考资料来源：百度百科-微分方程

Answer 3

dy/dx=-y/x+e^x
对应齐次方程dy/dx=-y/x

dy/y=-dx/x

lny=-lnx+C0
得xy=C
使用常数变易法,设y=u/x
dy/dx=(u'x-u)/x^2
得u'/x^2=e^x

积分得u=(x^2-2x+2)e^x+C
所以方程通解为xy=(x^2-2x+2)e^x+C

Answer 4

这题很简单的，用一阶线性微分方程通解公式：
xy´+y=xe^x
y´+y/x=e^x
y=(1/x)(C+∫xe^xdx)
=(1/x)(C+xe^x-e^x)