过抛物线y=x²上一点(a,a²)做切线，问a为何值时，切线与y=–x²+4x–1所围面积最小
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切线斜率k=y'=2a，则切线方程为y=2ax-a^2
设切线与抛物线y=-x^2+4x-1的交点为P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，（x2>x1)
联立y=2ax-a^2和y=-x^2+4x-1得
x1+x2=4-2a
x1x2=1-a^2
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=（16-16a+4a^2）-2(1-a^2)=6a^2-16a+14
x2-x1=√8a^2-16a+12
面积可用积分得
S=∫（-x^2+4x-1）-（2ax-a^2）dx
=-1/3(x2^3-x1^3)+(2-a)(x2^2-x1^2)+(a^2+1)(x2-x1)
=4/3[2(a-1)^2+3]^(3/2)
当a=1时，S最小为4√3
设切线与抛物线y=-x^2+4x-1的交点为P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，（x2>x1)
联立y=2ax-a^2和y=-x^2+4x-1得
x1+x2=4-2a
x1x2=1-a^2
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=（16-16a+4a^2）-2(1-a^2)=6a^2-16a+14
x2-x1=√8a^2-16a+12
面积可用积分得
S=∫（-x^2+4x-1）-（2ax-a^2）dx
=-1/3(x2^3-x1^3)+(2-a)(x2^2-x1^2)+(a^2+1)(x2-x1)
=4/3[2(a-1)^2+3]^(3/2)
当a=1时，S最小为4√3
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追问
啊，。。。之前自己的思路完全错了。。，老是想对面积的那个定积分求导。。。结果做了半天。。。。。看了您的答案，秒懂了。。。。
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祝您学业有成！
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