Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，线段BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，DF⊥AC，垂足为F。

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，线段BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，DF⊥AC，垂足为F。求证：DF是线段AC的垂直平分线。
求过程！今天必须要啊。。

Answer 1

连接CD
因为线段DE为BC的垂直平分线
所以BD=DC
因为△ABC是直角三角形
所以DE∥AC
所以DE为三角形ABC的中位线
所以D为斜边AB中点
所以BD=CD=AD
因为DF⊥AC
所以DF为AC垂直平分线

其实D为直角三角形外接圆圆心，就是外心，直角三角形的外心是斜边的中点

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Answer 2

证明,因DE为垂直平分线
所三角形BED相似于BCA
所BE/BC=BD/BA=1/2
所BD=AD(刚好一半)
因DF垂直于AC且角C=90
所DF//BC(都是直角嘛)
所三角形ADF相似于ABC
所AF/AC=AD/AB=1/2(上面已证得)
所AF=CF(刚好一半)
又因DF垂直于AC,
所DF是AC的垂直平分线.

Answer 3

证明△BDE≌△DAF，可得DE=AF，再证明四边形DECF为矩形，可得DE=CF、DF⊥AC，所以DF是AC的垂直平分线

Answer 4

j连接cd，易证三角形cdf，和三角形adf全等，cd=ad，故得证！