Question

已知函数f(x)=e^x-kx,x∈R(e是自然对数的底数,e=271828.....);若K∈R,讨论函数f(x)在(-∞,4)上的零点个数

Answer 1

答：f(x)=e^x-kx
求导得：f'(x)=e^x-k
1）当k<=0时，-k>=0，e^x>0，所以：f'(x)=e^x-k>0，f(x)是增函数。
所以：f(4)>f(0)=1>0，x趋于负无穷时，e^x趋于0，-kx为负无穷，所以f(x)为负数。
故在（-∞，4）上f(x)=0的零点数为1个；
2）当k>0时，令f'(x)=e^x-k=0，x=lnk；当x<lnk时，f'(x)<0，f(x)是减函数；x>lnk时，f(x)是增函数。
故f(x)在x=lnk处取得最小值为f(lnk)=k-klnk=k(1-lnk)=kln(e/k)

2.1)当最小值f(lnk)=kln(e/k)>0即e/k>1，0<k<e时，f(x)>0，f(x)=0不存在零点；
2.2)当最小值f(lnk)=kln(e/k)=0即k=e时，x=lnk=1<4，在（-∞，4）上f(x)=0的零点数为1个，x=1；
2.3)当最小值f(lnk)=kln(e/k)<0即k>e并且x=lnk<4时，即：e<k<e^4，在（-∞，4）上f(x)=0的零点数为2个；
2.4)当最小值f(lnk)=kln(e/k)<0即k>e并且x=lnk=4时，即：k=e^4，在（-∞，4）上f(x)=0的零点数为1个；
2.5)当最小值f(lnk)=kln(e/k)<0即k>e并且x=lnk>4时，即：k>e^4，在（-∞，4）上f(x)=0不存在零点数。

综上所述：f(x)在区间（-∞，4）上的零点数为——
k<=0时1个；
0<k<e时0个；
k=e时1个；
e<k<e^4时2个；
k=e^4时1个；
k>e^4时0个。

Answer 2

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