Question

若x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值。为什么不能通过x=y取得？

根据基本不等式。x=y=10 但是该题x+y的最小值不是20 为什么？

Answer 1

已知x、y∈+R，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值。

解：可以设K=x+y，则得：y=K-x，代入已知得
2x+8(K-x)-x(K-x)=0
整理，得：
x²-(K+6)x+8K=0
由于存在正数x，使得上述方程成立，所以其判别式必定是非负数，即：
△=[-(K+6)]²-4×8K≥0
K²+12K+36-32k≥0
K²-20K+36≥0
(K-2)(K-18)≥0·············①
因x、y均为正数，所以再由2x+8y-xy=0得：2(x+y)=xy-6y=y(x-6)>0，即：x-6>0，得：x>6，所以K=x+y>6，K-2>0；
则不等式①解只能是：K≥18，所以x+y的最小值为18。
此时求得：x=12，y=6。

还有一种更简单的方法：利用均值不等式的方法，可以参考：
http://zhidao.baidu.com/question/17921338.html?fr=qrl3

Answer 2

解答：
没法直接使用基本不等式，不能同时满足“正数，定值，相等”。

所以需要变形。
2x+8y-xy=0
∴ 2x+8y=xy
∴ 1=2/y+8/x
∴ x+y
=(x+y)/(2/y+8/x)
=2x/y+2+8+8y/x
=10+2x/y+8y/x
≥10+2√[(2x/y)*(8y/x)]
=10+8
=18
当且仅当 2x/y=8y/x,即 x=12,y=6时等号成立
∴ x+y的最小值是18

Answer 3

x=8y/(y-2)
x+y=(8y+y^2-2y)/(y-2)=(y^2+6y)/(y-2)=f(y)
f'(y)=[(2y+6)(y-2)-(y^2+6y)]/(y-2)^2
=(y^2-4y-12)/(y-2)^2
f'(-2)=f'(6)=0
由于x，y>0 舍去y=-2
求f(y)极值, f(6)=18
所以x+y最小值是18

Answer 4

通过2x+8y-xy=0，是不能推出x=y=10的，x=y=10仅仅是满足该方程的一组数，且x=y=10的时候，x+y不是最小值，谁规定x=y了，x+y就要最小啊。要求x+y的最小值，必须要将x+y以单一参数的形式表现，利用2x+8y-xy=0求出y和x的参数方程，再将x+y的y或者x替换，形成只有x或者只有y的式子，根据该式的增减性，可以求出其最小值。