Question

在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB。 （1）如图1，当∠DAB＝120°，∠B

在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB。 （1）如图1，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，
求证：AB＋AD＝AC。 （2）当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC 有怎样的数量关系？并证明。

Answer 1

（1）因为∠DAB＝120°，且AC平分∠DAB
所以∠DAC=∠BAC=60°
因为∠ B=90°，
在△ABC中，AB=ACcos60°=1/2AC
同理，AD=ACcos60°=1/2AC
所以AB＋AD＝AC
（2）还是AB＋AD＝AC
在△ABC中，有BC/sin60°=AC/sin∠ABC
即BC=AC*sin60°/sin∠ABC
同理在△ADC中也有CD=AC*sin60°/sin∠ADC
因为∠ADC与∠ABC互补
所以sin∠ADC=sin∠ABC
即CD=BC
延长AD，在延长线上取1点E，使得DE=AB
因为DE=AB
∠EDC=∠ABC（∠EDC也与∠ADC互补）
CD=AN
所以△EDC与△ABC全等
所以∠DEC=∠CAB=60°
所以△EAC为等边三角形
所以AE=AC
即AB＋AD＝AC