求不定积分∫xarctanxdx
我是这样算的：原式＝1/2x∧2arctanx－∫x/1＋x∧2dx＝1/2x∧2arctanx－1/2ln｜1＋x∧2｜＋c跟答案上不一样，为什么不能直接分部积分，把x...
我是这样算的：原式＝1/2x∧2arctanx－∫x/1＋x∧2dx＝1/2x∧2arctanx－1/2ln｜1＋x∧2｜＋c
跟答案上不一样，为什么不能直接分部积分，把x当做u，把arctanx当做v？ 展开
跟答案上不一样，为什么不能直接分部积分，把x当做u，把arctanx当做v？ 展开
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不定积分的结果，会随着方法不同而结果不同，其实都是对的
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网易云信
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∫xarctanxdx
=(1/2)∫ arctanxd(x²)
分部积分
=(1/2)x²arctanx - (1/2)∫ x²/(1+x²) dx
=(1/2)x²arctanx - (1/2)∫ (x²+1-1)/(1+x²) dx
=(1/2)x²arctanx - (1/2)∫ 1 dx + (1/2)∫ 1/(1+x²) dx
=(1/2)x²arctanx - (1/2)x + (1/2)arctanx + C
=(1/2)∫ arctanxd(x²)
分部积分
=(1/2)x²arctanx - (1/2)∫ x²/(1+x²) dx
=(1/2)x²arctanx - (1/2)∫ (x²+1-1)/(1+x²) dx
=(1/2)x²arctanx - (1/2)∫ 1 dx + (1/2)∫ 1/(1+x²) dx
=(1/2)x²arctanx - (1/2)x + (1/2)arctanx + C
追问
为什么第一步要先凑微分，把x凑成1/2dx∧2
追答
为了用公式:分部积分公式:
∫ v du = uv - ∫ u dv
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直接分步积分麻烦
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