Question

求不定积分∫xarctanxdx

我是这样算的：原式＝1/2x∧2arctanx－∫x/1＋x∧2dx＝1/2x∧2arctanx－1/2ln｜1＋x∧2｜＋c
跟答案上不一样，为什么不能直接分部积分，把x当做u，把arctanx当做v？

Answer 1

不定积分的结果，会随着方法不同而结果不同，其实都是对的

Answer 2

∫xarctanxdx
=(1/2)∫ arctanxd(x²)
分部积分
=(1/2)x²arctanx - (1/2)∫ x²/(1+x²) dx
=(1/2)x²arctanx - (1/2)∫ (x²+1-1)/(1+x²) dx
=(1/2)x²arctanx - (1/2)∫ 1 dx + (1/2)∫ 1/(1+x²) dx
=(1/2)x²arctanx - (1/2)x + (1/2)arctanx + C

追问

为什么第一步要先凑微分，把x凑成1/2dx∧2

追答

为了用公式:分部积分公式:
∫ v du = uv - ∫ u dv

Answer 3

直接分步积分麻烦