Question

已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点满足向量AF＝3向量FB，则弦AB的中点

已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点满足向量AF＝3向量FB，则弦AB的中点到准线的距离是多少

Answer 1

抛物线准线方程为 x= -1 ，焦点F（1，0），
设 A、B 在准线上的射影分别为 A1、B1 ，
则由抛物线定义得 AA1=AF ，BB1=BF ，
由于向量 AF=3FB ，因此 |AF|=3|FB| ，
所以 AA1=3BB1 ，
设 A、B 横坐标分别为 x1、x2 ，则由上式得 x1+1=3(x2+1) ，-----------①
由于 A、F、B 三点共线，因此由抛物线性质可得 x1*x2=1 ，-----------②
以上两式解得 x1=3 ，x2=1/3 ，
因此 AA1=x1+1=4 ，BB1=x2+1=4/3 ，
所以 AB 中点到准线距离为 (AA1+BB1)/2=8/3 。