Question

已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=5时,求函数f(x)的定义域.

(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：
(1)
x<1时
|x-1|+|x-5|-5=1-x+5-x=1-2x>0
x<1/2,
1≤x≤5时，
|x-1|+|x-5|-5=-1<0不满足题意。
x>5时，
|x-1|+|x-5|-5=2x-11>0,
x>11/2.
综上，f(x)的定义域为{x|x<1/2或x>11/2}
(2)
值域是R，说明定义域是(0,+∞)
|x-1|+|x-5|的最小值是4，
所以a≥4时，|x-1|+|x-5|-a可以取到(0,+∞)
因此，a的取值范围是a≥4

如仍有疑惑，欢迎追问。
祝：学习进步！

Answer 2

(1)因|x-1|+|x-5|-a>0,分别讨论：
当x<1时，有1-x+5-x-5>0,x<1/2,所以x<1/2
当1≤x≤5时，有x-1+5-x-5=-1<0所以此时无解
当x>5，有x-1+x-5-5>0,x>11/2所以x>11/2
综上所述，当a=5时，f(x)的定义域为x<1/2或x>11/2

(2)依题意，必须保证对于所有x,恒有|x-1|+|x-5|-a>0,
即|x-1|+|x-5|>a
我们求y=|x-1|+|x-5|的最小值：
当x≤1时，y=1-x+5-x=6-2x,这是一个单调减函数，所以当x=1时y最小：y=3
1≤当1≤x≤5时，有y=x-1+5-x=4
当x≥5，有y=x-1+x-5=2x-6,这是一个单调增函数，所以当x=5时y最小：y=4
综上所述，|x-1|+|x-5|的最小值为3,因此，a的取值范围为a<3

Answer 3

|x-1|+|x-5|-5＞0
分情况讨论，得到结果x＜0.5或x＞5.5
同样分情况讨论。
a＜4