Question

问一道高中数学题目，求详解

若不等式ax/x-1<1的解集为｛x<1或x>4｝，则实数a的值为
要详细的解答过程。讨论部分很重要。

Answer 1

解,ax/x-1<1
当X-1>0,X>1时,得X(a-1)<-1
若a-1>0,则a>1时,X<-1/(a-1),排除
若a-1<0,则a<1时,X>-1/(a-1)
当X-1<0,X<1时,得X(a-1)>-1
若a-1>0,a>1时,X>-1/(a-1)排除
若a-1<0,则a<1时X<-1/(a-1)
所当X>1时,X取值为,X>-1/(a-1)=4且A<1解得a=3/4
当X<1时,X取值为X<-1/(a-1)=1且A<1解得a=0
若A=0,X为任意数不等式都成立,所以与解集不合,故A=3/4

Answer 2

首先a不等于0
ax/(x-1)-1<0
[(a-1)x+1]/(x-1)<0
[(a-1)x+1](x-1)<0
由于解集中不等号方向与原不等式反向，有a-1<0，a<1
且(a-1)x+1<0的解集为x>4
故有1/(1-a)=4
a=3/4
以上为全过程，望采纳，谢谢

追问

由[(a-1)x+1](x-1)<0如何得到(a-1)x+1<0，（x-1）的正负不是不确定吗

Answer 3

可以不讨论的

解集为｛x<1或x>4}
可以知道
方程ax/x-1=1的解是x=1,x=4
显然x=1是增根
于是x=4
把x=4代进去ax/x-1=1
即
4a/(4-1)=1
解得a=3/4