Question

已知:如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发

已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
不要用sin

Answer 1

解：根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=1/2BP，即t=1/2

追问

第二问会么

追答

过P作PM⊥BC于M ．Rt△BPM中，sin∠B＝ ，
∴PM＝PB•sin∠B＝ (3－t )．∴S△PBQ＝ BQ•PM＝ • t • (3－t )．
∴y＝S△ABC－S△PBQ＝ ×32× － • t • (3－t )＝ ．
∴y与t的关系式为： y＝ ．
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ，
则S四边形APQC＝ S△ABC ．∴ ＝ × ×32× ．
∴t 2－3 t＋3＝0．∵(－3) 2－4×1×3＜0，