Question

已知曲线C上的动点p(x,Y)满足到点F(0,1)的距离比到直线Y=-2的距离小1

（1）求曲线c的方程 （2）过点F的直线l与曲线c交与A,B两点。①过A,B两点分别作抛物线的切线，设其交点m 求mA垂直mB ②是否y轴上存在定点Q，使得无论AB怎么运动，都有角AQF=角BQF

Answer 1

解：（1）依题意有(y-1)2+x2=|y+2|-1，由显然y＞-2，得(y-1)2+x2=|y+1|，化简得x2=4y；
（2）（ⅰ）∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+8．
A（x1，y1），B（x2，y2）．
由y=kx+1y=14x2.可得x2-4kx-4=0，x1+x2=4k，x1x2=-4
抛物线方程为y=14x2，求导得y′=12x．
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是kAM=12x1，kBM=12x2，
∴kAM�6�1kBM=12x1×12x2=14x1x2=-1即AM⊥BM
（ⅱ）设点Q（0，t），此时kAQ=y1-tx1，kBQ=y2-tx2，
由（ⅰ）可知故kAQ+kBQ=x124-tx1+x224-tx2=x1x2(x1+x2)-4t(x1+x2)4x1x2=0对一切k恒成立
即：k（8+t）=0
故当t=-1，即Q（0，-1）时，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP