Question

如图,在平面直角坐标系中,点AB的坐标分别为(-3,0)(0,9/4),点C是射线AB上一点,CD⊥x轴于点D

且CD=3
（1）在x轴上找一点E，连接CE,使得△ACE与△ACD相似（不包括全等），并求点E的坐标
（2）在（1）的条件下，若点P，Q分别是线段AC,AE上的动点，连接PQ,设AP=EQ=m，是否存在实数m，使得△APQ与△AEC相似？如存在，请求出实数m的值；如不存在，请说明理由

Answer 1

1.AB的坐标分别为(-3,0)(0,9/4)

OA=3

OB=9/4

∵CD⊥x轴于点D，∠BOC=90°，
∴BO∥DC，
∴△AOB∽△ADC；

∴OA/AD=OB/CD

∵CD=3

∴AD=4

过点C作EC⊥AC，交x轴于点E，
在Rt△ADC和Rt△ACE中，
∵∠CAD=∠CAE，
∴Rt△ACD∽Rt△AEC，
∴E点为所求，
又tan∠ACD=tan∠CED=4/3

∴DE=CD÷tan∠CED=3÷4/3=9/4

∴OE=OD+ED=13/4

∴E（13/4,0)

2.

这样的m存在．
在Rt△ACE中，由勾股定理得AC=5，
当PQ∥CE时，

△APQ∽△ACE

则m/5=(3+13/4-m)/(3+13/4)

m=25/9

当PQ⊥AE时，△APQ∽△AEC，
则 m/(3+13/4)=(3+13/4-m)/5

m=125/36

故存在m的值是m=25/9或m=125/36，使得△APQ与△AEC相似．

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