Question

被积函数为1的话，二重积分或第一类曲面积分代表被积区域面积，第一类曲线积分代表曲线长度，三重积分代

被积函数为1的话，二重积分或第一类曲面积分代表被积区域面积，第一类曲线积分代表曲线长度，三重积分代表区域体积，这些都正确吗，如果被积函数不是1，那代表什么

Answer 1

被积函数是1的话，是正确的
如果不是1的话，更广泛的说是一个函数f的话，可以从物理的角度来理解。二重积分或第一类曲面积分代表f在面积上的积累，如果f是密度，那么积分就是质量了。相似的，第一类曲线积分就是f在曲线上的积累，f是密度，积分就是质量了。当然，f也可以是其他的含义。核心就是利用积分本质的是求和。

Answer 2

当曲面是坐标平面上一部分的时候，曲面积分就是二重积分（考虑到被积曲面的侧的话，可能带正负号）
曲面积分一般是通过化成二重积分来计算
用二重积分计算曲面的面积的时候，相当于被积函数是1的曲面积分

Answer 3

应该说二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积，当被积函数是1时，是高度等于1的柱体体积，在数值上等于积分区域的面积。第一类曲线积分、三重积分也与此类似。