如图，RT三角形ABC中，角BAC=90度，AD垂直BC于D，BE平分角ABC交AC于E,EF垂直BC于F。求证：EF:DF=BC:AC.
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推荐于2016-12-01 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
知道合伙人教育行家
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识，尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖，期望能为你答疑
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证明：
∵BE平分∠ABC，∠BAC=90°，EF⊥BC
∴AE=EF
过E作EG垂直AD于G，则GE=DF，且GE//BC
∴∠AEG=∠C
∴ΔAEG∽ΔBCA
∴AE/BC=GE/AC
∴AE/GE=BC/AC
∵AE=EF，GE=DF
∴EF/DF=BC/AC。
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AD与BE 交于O点，联结OF
∵BE平分角ABC交AC于E,EF垂直BC于F
∴AE=EF
∠AEB=∠FEB
∵AD⊥BC,EF⊥BC
∴AD∥EF,
∴∠BOD=∠BEF
∴∠AOE=∠AEO
AO=AE=EF
∵AO∥EF
∴AOFE为平行四边形
∵AE=EF∴AOFE为菱形
∴EO=EF
OF∥AC
∴∠OFD=∠C
∴⊿ABC∽⊿DOF
AB/DO=AC/DF
AB/AC=DO/DF=EF/DF
∵BE平分角ABC交AC于E,EF垂直BC于F
∴AE=EF
∠AEB=∠FEB
∵AD⊥BC,EF⊥BC
∴AD∥EF,
∴∠BOD=∠BEF
∴∠AOE=∠AEO
AO=AE=EF
∵AO∥EF
∴AOFE为平行四边形
∵AE=EF∴AOFE为菱形
∴EO=EF
OF∥AC
∴∠OFD=∠C
∴⊿ABC∽⊿DOF
AB/DO=AC/DF
AB/AC=DO/DF=EF/DF
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