Question

初三数学，很纠结的一道大题，求高手解答！

如图，直线y=2x+2与x轴交于点A ，与y轴交于点c，直线BC经过点b(2,0)，动点p从点A 开始沿AB方向向终点b运动，过点p做pq垂直于ab，交折线A-C-B于点q。
（1）求直线BC的表达式。
（2）点e是y轴正半轴上的点，若四边形pqce为菱形，则点e的坐标为______.

希望有人可以帮我解决掉这个题，谢谢啦！
谢谢大家积极解答，请大家再看下这道题的第三问谢谢各位啦！
(3)如图2，以PQ为边在PQ的右侧作正方形PQMN。点P运动的速度为每秒1个单位，运动时间为t秒（0<t<3）,设正方形PQMN与三角形ABC重叠部分的面积为S。
1.当点M在直线BC上时，求t的值;
2.直接写出s关于t的函数式，及对应的t的取值范围。

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Answer 1

同理可得当P在OB之间时，OP^2+OE^2=EP^2解得E（0，2√2-2）

综上满足条件的E有两个（0，2√2-2）（0,4√5-8）不懂可尽快追

，要睡觉了.第一问太简单略过解析式为y=-x+2

追问

谢谢啦，请帮忙再看下第三问，

Answer 2

（1）y=-x+2
解题过程：
将x=0代入y=2x+2，得到C点坐标（0,2），
然后结合B点坐标（2,0），得到BC表达式：y=-x+2

（2）(0， -8+4根号5) 或(0, - 2 + 2 根号2)
解题过程：
假设P点坐标（Xp，0）
当Xp<0时，（注意，此时Xp>-1）
p位于AO段，连接PE，
根据三角形相似，有OE/OC=OP/OA,即OE/2= -Xp/1,
所以OE= - 2Xp, E点坐标为(0,- 2Xp)
将x=Xp代入直线AC的方程，得到Q点坐标（Xp，2Xp+2），
由于菱形，有PQ=CQ，即（2Xp+2）^2=(Xp)^2+(2Xp)^2,
求解得到Xp=4+2根号5（大于0，排除），或者Xp=4-2根号5
所以E点坐标为（0, -8+4根号5 ）

当Xp>0时，（注意，此时Xp<2）
p位于OB段，连接PE，
根据三角形相似，有OE/OC=OP/OB,即OE/2= Xp/2,
所以OE= Xp, E点坐标为(0, Xp)
将x=Xp代入直线BC的方程，得到Q点坐标（Xp，-Xp+2），
由于菱形，有PQ=CQ，即（-Xp+2）^2=(Xp)^2+(Xp)^2,
求解得到Xp= - 2 + 2 根号2，或者Xp= -2 - 2 根号2（小于0，排除）

追问

辛苦了，写真么多，帮忙在看下第三问吧，对我来说好难的！

追答

（3）
1、设P点坐标（Xp，0），M点坐标为（Xm，Ym）
有题意可知， Xp=t-1；

当Xp0时，Q位于直线BC上，又正方形的M点在PQ右侧，
所以，此时M肯定不在BC上。

2、
********************************************注释***************************************************
这题求解分三种情况，一是M点位于三角形ABC内，二是在BC上，三是在BC右侧。
其中，一二两种重叠面均为正方形面积，第三种要分两段，参考（3）1的解答，分为3/5=1段。
******************************************************************************************************
设P点坐标（Xp，0），Xp=t-1；
1）当0=1时，
Q点位于BC上，由OB=OC=2，知三角形OBC为等腰直角三角形，
所以PQ=PB，
由于PQMN是正方形，显然，B点与N点重合，S为等腰直角三角形PBQ的面积
将x=Xp代入直线BC的方程，得到Q点坐标（Xp，-Xp+2），
PQ=2-Xp = 2 - （t - 1 ）=3-t；
所以S=1/2 * PQ^2=1/2 * （3 - t ）^2.

3)当3/5<t<1时，
正方形PQMN与直线BC有两个交点，设QM交BC与点D，MN交BC与点E，
（在图中示意性标出来），由图中可知，S=正方形PQMN的面积 - 等腰直角三角形DEM的面积

将x=Xp代入直线AC的方程，得到Q点坐标（Xp，2Xp+2），即Q（t-1, 2t）
所以PQ=2t，即正方形边长为2t，
由于，PQMN是正方形，所以Q点坐标与D点的y坐标相同，
将y=2t,别代入直线BC的方程，有 2t= - x +2，解得x=2-2t，即D点坐标为（2-2t, 2t)
所以DM=QM-QD = 2t - 【（2-2t）- (t-1) 】= 5t - 3
所以S=PQ^2 - 1/2 * (DM)^2 = 4t^2 - 1/2 * (5t-3)^2

综上所述：
当0<t<=3/5时，S= 4t^2；
当3/5<t<1时，S= 4t^2 - 1/2 * (5t-3)^2；
当1<=t<3时，S= 1/2 * （3 - t ）^2。

Answer 3

(1)
A(-1, 0), C(0, 2), B(2, 0)
BC的方程: x/2 + y/2 = 1, y = 2 - x

(2)
P(p, 0)
(i) p < 0
AC的方程: x/(-1) + y/2 = 1, y = 2(x + 1)
Q(p, 2(p + 1))
四边形PQCE为菱形, PQ = QC
PQ = 2(p + 1)
QC = √[(p - 0)² + (2p + 2 - 2)²] = √5|p|
p² - 8p - 4 = 0
p = 4 - 2√5 (舍去p = 4 + 2√5 > 0)
Q(4 - 2√5, 10 - 4√5)
E(0, e)
EC = 2 - e, PQ = 10 - 4√5
EC = PQ, e = 4(√5 - 2)
E(0, 4(√5 - 2))

(ii) p > 0
BC的方程y = 2 - x
Q(p, 2 - p)
四边形PQCE为菱形, PQ = QC
PQ = 2 - p
QC = √[(p - 0)² + (2 - p - 2)²] = √2|p|
p² + 4p - 4 = 0
p = -2 +2√2 (舍去p = -2 - 2√2 < 0)
Q(-2 + 2√2, 4 - 2√2)
E(0, e)
EC = 2 - e, PQ = 4 - 2√2
EC = PQ, e = 2(√2 - 1)
E(0, 2(√2 - 1))

(3)
t秒时, P(-1 + t, 0)
0 < t < 1时, P在AO上, Q在AC上
AC: y = 2(x+ 1), x = -1 + t, y = 2t

Q(t - 1, 2t)
BC: y = 2 - x, y = 2t, x = 2 - 2t
M(2 - 2t, 2t)
N(2 - 2t, 0)
PQ = PN
PQ = 2t, PN = 2 - 2t - (-1 + t) = 3 - 3t
2t = 3 - 3t
t = 3/5

(4)
(i)
按(3), 0 < t ≤ 3/5秒时,

P(-1 + t, 0), Q(t - 1, 2t), 正方形PQMN完全在三角形ABC内
正方形边长l = PQ = 2t
S = l*l = 4t²

(ii) 3/5 < t ≤ 1秒时
P(-1 + t, 0), Q(t - 1, 2t)仍成立
正方形边长l = PQ = 2t
N的横坐标 = P的横坐标 + l = -1 + t + 2t = 3t - 1
N(3t - 1, 0)
BC: y = 2 - x, x = 3t - 1, y = 3 - 3t
MN与BC交于N'(3t - 1, 3 - 3t)
BC: y = 2 - x, y = 2t, x = 2 - 2t
QM与BC交于M'(2 - 2t, 2t)
M'M = N的横坐标 - M'的横坐标 = 3t - 1 - (2 - 2t) = 5t -3
N'M = M的纵坐标 - N'的纵坐标 = 2t - (3 -3t) = 5t - 3
S = 正方形PQMN的面积 - 三角形M'MN'的面积
= 4t² - (1/2)(5t -3)²
= -17t²/2 + 15t - 9/2

(iii) 1 < t ≤ 3秒时
P在BC上, P(-1 + t, 0)

BC: y = 2 - x, x = -1 + t, y = 3 - t
Q(-1 + t, 3 - t)
PQ = 3 - t = PN
N的横坐标 = P的横坐标 + PN = -1 + t + 3 - t = 2
N(2, 0), 总与C重合
QN为正方形PQMN的对角线
S = (1/2)正方形PQMN的面积 = (1/2)PQ² = (3 - t)²/2

Answer 4

（1）简单略过
（2）提示：由已知条件可以知道角CAO是45度，由于pqce是菱形，则pe平行且等于qc且等于ce,角epo也就等于45度，在等腰直角三角形ope中，pe=根号2倍的oe,即也就是ce的长度，所以ce+oe=co,即（1+√2）oe=2,解出oe就是e坐标，自己再好好做一下。如果还是不会，我再详细解答给你

Answer 5

解：（1）直线AC：y=2x+2
令y=0,得x=-1,则A(-1,0)
令x=0,得y=2, 则C(0,2)
设直线BC的表达式为y=kx+b,则
2=b
0=2k+b
所以 b=2,k=-1
故：直线BC的表达式为：y=-x+2