Question

如图，二次函数的图像顶点坐标为C（3,4）且在X轴上截得的线段AB长为4。

1.求二次函数的解析式。
2.设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积。
3.在X轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使X轴平分∠PBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵顶点∴设y=a(x-3)²+4,
对称轴x=3，根据对称性，A(1,0)、B(5,0)∴4a+4=0∴a=-1
∴二次函数的解析式:y=-(x-3)²+4或者y=-x²+6x-5
（2）D(-5,0)∴四边形DACB的面积：S⊿ABC+S⊿ABD=1/2*4*4+1/2*4*|-5|=18
(3）假设存在，设BP延长交y轴于E，则
∵X轴平分∠PBD∴对称性得E(5,0)
设直线BP：y=kx+5 ∴5k+5=0∴k=-1∴直线BP：y=-x+5代入抛物线
-x+5=-x²+6x-5∴x=2(5舍去）∴P（2,3）