Question

λ取何值时。线性方程组有无穷多解 求出通解

-2X1+X2+X3=-2
X1-2X2+X3= λ
X1+X2-2X3= λ^2

Answer 1

写出此方程组的增广矩阵，用初等行变换来解
-2 1 1 -2
1 -2 1 λ
1 1 -2 λ^2 第1行加上第2行×2，第3行减去第2行
～
0 -3 3 -2+2λ
1 -2 1 λ
0 3 -3 λ^2-λ 第3行加上第1行，第1行和第2行交换
～
1 -2 1 λ
0 -3 3 -2+2λ
0 0 0 λ^2+λ-2
若方程组有无穷多解，
则R(A)=R(A,b)<3，
所以λ^2+λ-2=0解得λ= -2或 1
当λ= -2
增广矩阵化为
1 -2 1 -2
0 -3 3 -6
0 0 0 0 第2行除以-3
～
1 -2 1 -2
0 1 -1 2
0 0 0 0 第1行加上第2行×2
～
1 0 -1 2
0 1 -1 2
0 0 0 0
得到方程组的解为：c(1,1,1)^T +(2,2,0)^T，C为常数

当λ=1时，
增广矩阵化为
1 -2 1 1
0 -3 3 0
0 0 0 0 第2行除以-3
～
1 -2 1 1
0 1 -1 0
0 0 0 0 第1行加上第2行×2
～
1 0 -1 1
0 1 -1 0
0 0 0 0
得到方程组的解为：c(1,1,1)^T +(1,0,0)^T，C为常数