Question

如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，分别以AB、AC所在的直线为对称轴，

作出△ABD、△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E、F，延长EB、FC相交于G点，试证明四边形AEGF是正方形

Answer 1

∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵△ABE与△ABD关于AB对称，△ACF与△ACD关于AC对称，
∴AE=AF，∠E=∠F=90°，∠EAB=∠DAB，∠DAC=∠FAC．
∵∠BAD+∠CAD=45°，
∴∠BAE+∠FAC=45°，
∴∠BAD+∠CAD+∠BAE+∠FAC=90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∵AE=AF，
∴矩形AEGF是正方形．

Answer 2

证明：
由题意可得：
△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC
又∠BAC=45°
∴∠EAF=90°
∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°
∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF
∴四边形AEGF是正方形

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