Question

已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=lnx/x (1)求函数f(x)的单调区间

2)求证:对任意的m,n属于(0,e},都有f(m)-g(n)>1/2(注:e约等于2.71828...是自然对数的底数)

Answer 1

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Answer 2

1）
f(x)=x-lnx (x>0)
f'(x)=1-1/x=(x-1)/x
∴0<x<1,f'(x)<0,x>1,f'(x)>0
∴f(x)递增区间为(1,+∞),
递减区间为(0,1)
2)
由1）知，x∈(0,e]时，f(x)min=f(1)=1
g(x)=lnx/x
g'(x)=(1-lnx)/x²
0<x<e时，1-lnx>0,g'(x)>0,
∴x∈(0,e],时，g(x)递增
∴g(x)max=g(e)=1/e<1/2
∴f(x)min-g(x)max=1-1/e>1/2
即对任意的m,n属于(0,e},都有f(m)-g(n)>1/2