Question

已知函数fx=x3+ax2+x+1，a属于R。当a=2时，求函数的单调区间

已知函数fx=x3+ax2+x+1，a属于R。
1 当a=2时，求函数的单调区间
2 设函数fx的区间（-2/3，-1/3）内是减函数，求a的取值范围。

Answer 1

a=2,f(x)=x^3+2x^2+x+1
f'(x)=3x^2+4x+1=(3x+1)(x+1)>0
得到单调增区间是(-无穷,-1)U(-1/3,+OO)
由f'(x)<0,得到单调减区间是(-1,-1/3)
(2)f(x)=x³+ax²+x+1
f'(x)=3x²+2ax+1
若不存在减区间，则3x²+2ax+1≥0，x∈(-2/3,-1/3)恒成立
所以2a≤-3x-1/x.
设g(x)=-3x-1/x，则g'(x)=-3+1/x²=(-3x²+1)/x²

令g'(x)=0得x=-√3/3.
且当x∈(-2/3,-√3/3)时g(x)单调递减，x∈(-√3/3,-1/3)时g(x)单调递增
所以g(x)min=g(-√3/3)=2√3
所以a≤√3.
故a>√3时，存在单调递减区间.

说明：-3x-1/x的最小值利用平均值不等式解比较快.
(-3x)+(-1/x)≥2√3，故a≤√3
a>√3时，存在单调递减区间

Answer 2

(1)当a=2时,f(x)=x^3 2^2 x 1
微分得:f'(x)=3x^2 4x 1
解方程3x^2 4x 1=0得:
x1=-1/3,x2=-1.
当x取-1<x-1/3任意值时f'(x)<0.
所以函数f(x)在(-∞,-1]并[-1/3, ∞)时为单增.在(-1,-1/3)时为单减.
(2)略

Answer 3

对函数进行求导。把a=2代入函数。f(x)'=3x^2 4x 1。对f(x)'求解。得x=-1/3，x=-1。列表，得f(x)在(负无穷，-1/3)，(-1，正无穷）为单调递增，在（-1/3，-1）为单调递减。第二小问，不太会。不好意思。