Question

已知a是正整数，如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根．

Answer 1

解：将方程的左边分解因式，得（x-1）【x2+（a+18）x+56】=0，观察易知，方程有一个整数根x1=1，
∵a是正整数，
∴关于x的方程x2+（a+18）x+56=0（1）的判别式△=（a+18）2-224＞0，它一定有两个不同的实数根．
而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式△=（a+18）2-224应该是一个完全平方数．
设（a+18）2-224=k2（其中k为非负整数），则（a+18）2-k2=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224．
显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，所以a+18+k=112 a+18-k=2或a+18+k=56 a+18-k=4或a+18+k=28 a+18-k=8解得a=39 k=55或a=12 k=26或a=0 k=10
而a是正整数，所以只可能a=39 k=55或a=12 k=26.
当a=39时，方程（1）即x2+57x+56=0，它的两根分别为-1和-56．此时原方程的三个根为1，-1和-56．
当a=12时，方程（1）即x2+30x+56=0，它的两根分别为-2和-28．此时原方程的三个根为1，-2和-28