Question

已知三角形ABC，以AC为直径的圆O交AB于点D，点E为弧AD的中点，连接CE交AB于点F，BF=BC，BC与圆O相切。

圆O半径为2，COSB=3/5，求CE

Answer 1

连接OE交AD于G
∵E为弧AD中点，∴OE⊥AD，AG=DG，
∵BC是切线，AC是直径，∴∠ACB=90°，
在RTABC中，cosB=BC/AB=3/5，设BC=3X(X>0)，则AB=5X，
∵AC=4，∴(5X)^2=16+(3X)^2，X=1，
∴BC=3，AB=5，
连接CD，∵AC为直径，∴∠ADC=90°，
在RTΔBCD中，BD=BC*cosB=9/5，
∴弦AD=AB-BD=16/5，AG=8/5，OG=√(OA^2-AG^2)=6/5，
∴EG=2-6/5=4/5，
∴AE=√(EG^2+AG^2)=2，——(ΔOAE是等边三角形，∠ACE=30°，CE=AC*√3/2=2√3)
∴CE=√(AC^2-AE^2)=2√3。

追问

AE我算出得4√5/5

追答

对不起，OG算错了：
OG=√(OA^2-AG^2)=6/5
∴GE=2-6/5=4/5，
∴AE^2=AG^2+EG^2=80/25=16/5，
∴CE^2=AC^2-AE^2=16-16/5=64/5
∴CE=4√5/5。

Answer 2

连结CD，因为AC为圆O的直径，则CD垂直于AB。BC与圆O相切，则BC垂直于AC，于是角ACD=角B。角ACE和角ECD分别是弧AE和弧DE对应的圆周角，弧AE和弧DE相等，所以角ACE=角ECD=1/2角ACD。
那个，二倍角公式学了没？cos角ACD=2（cos角ACE）^2-1=3/5，（cos角ACE）^2=4/5，角ACE为锐角，故cos角ACE=（2√5）/5
连结AE，角AEC=90°，则CE=AC cos角ACE=（8√5）/5