Question

函数y=f(x)为定义在R上的减函数，函数Y=f(x-1)的图像关于点（1,0）对称，

x,y满足不等式f(x^2-2x)+f*(2y-y^2)<=0，M（1，2），N(x,y),O为坐标原点，则当1<=x<=4时，向量OM乘以向量ON的取值范围为

Answer 1

∵y=f(x-1)图像关于点(1,0)对称
∴y=f(x)关于(0,0)对称
∴f(x)为奇函数；
∵f(x^2-2x)+f(2y-y^2)≤0，
∴f(x^2-2x)≤-f(2y-y^2)=f(y^2-2y)；
∵(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)<0,那么函数在R上是减函数
∴x^2-2x≥y^2-2y；
问题可以转化为:
不等式组|x-1|≥|y-1|
在1≤x≤4表示的区域内求y=kx(与区域有公共点)的斜率范围
解得:k=y/x∈[-1/2,1]
或者说:
x^2-2x≥y^2-2y恒成立
（x+y-2）（x-y）≥0恒成立

坐标系中上述不等式表示的范围是直线y=x与直线x+y=2交叉是个区域中，左右两个
当x属于[1，4]时，用线性规划，
y/x指的是区域中的点与原点连线的斜率。
当x=4，y=-2时，y/x取得最小值-1/2
当x=y时，y取得最大值1