Question

已知曲线C:f(x)=x+a/x(a>0),直线l:y=x,在曲线C上有一个动点P,过点P分别作直线l和y轴的垂线,垂足分别为

A, B.再过点P作曲线C的切线，分别与直线 l 和y轴相交于点M,N. O是坐标原点。若三角形ABP的面积为1/2,求三角形OMN的面积

Answer 1

不影响结果，不妨设P(p, p + a/p)在第一象限, p > 0
B(0, p + a/p)
y = x的斜率为1, PA的斜率为-1, PA的方程: y - (p + a/p) = -(x - p)
令y = x, x - (p + a/p) = p - x
x = y = p + a/(2p)
A(p + a/(2p), p + a/(2p))
三角形ABP的面积 = (1/2)BP*BP上的高
= (1/2)p[p + a/p - p - a/(2p)]
= a/4 = 1/2
a = 2

f'(x) = 1 - a/x²
f'(p) = 1 - a/p²
过点P曲线C的切线: y - (p + a/p) = (1 - a/p²)(x - p)
令x = 0, y = 2a/p, N(0, 2a/p)
令y = x, y = x = 2p, M(2p, 2p)
三角形OMN的面积 = (1/2)ON*M的横坐标
= (1/2)(2a/p)(2p)
= 2a

= 4