Question

问一到高中数学题目,求详解

若x,y∈（0，正无穷大），且2x+8y-xy=0,求当x+y取到最小值时x=____,y=____

Answer 1

同除以xy得8/x+2/y=1.

所以x+y=(x+y)*1=(x+y)(8/x+2/y)
=10+2x/y+8y/x
≥18
当且仅当x=2y时等号成立.

x=2y代入2x+8y-xy=0得x=12，y=6.

追问

当且仅当x=2y时等号成立.是怎么得出来的

追答

由平均值不等式a+b≥2√(ab)等号成立的条件是a=b知
2x/y=8y/x时，10+2x/y+8y/x≥18中的等号成立，所以x²=4y²，因此x=2y时等号成立.

Answer 2

2x+8y-xy=0得：x=8y/(y-2)
x+y=8y/(y-2)+y=[8(y-2)+16]/(y-2)=16/(y-2)+8+y
=16/(y-2)+y-2+10≥2*4+10
16/(y-2)=y-2时取等,得y=6,此时x=12