问一到高中数学题目,求详解
已知函数f(x)=lgx（x>0）,若x1,x2∈(0,正无穷),判断1/2[f(x1)+f(x2)]与f(（x1+x2）/2)的大小，并证明...
已知函数f(x)=lgx（x>0）,若x1,x2∈(0,正无穷),判断1/2[f(x1)+f(x2)]与f(（x1+x2）/2)的大小，并证明
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因为：f(x)=lgx,x1,x2∈R+
所以，
[f(x1)+f(x2)]/2
=(lgx1+lgx2)/2
=lg(√x1x2)
f[(x1+x2)/2]
=lg[(x1+x2)/2]
由匀值定理得：x1+x2≥2√x1x2
所以，(x1+x2)/2≥√x1x2
由于，f(x)=lgx为增加函数
所以，lg[(x1+x2)/2]≥lg(√x1x2)
所以，1/2[f(x1)+f(x2)]≥f[(x1+x2)/2]
所以，
[f(x1)+f(x2)]/2
=(lgx1+lgx2)/2
=lg(√x1x2)
f[(x1+x2)/2]
=lg[(x1+x2)/2]
由匀值定理得：x1+x2≥2√x1x2
所以，(x1+x2)/2≥√x1x2
由于，f(x)=lgx为增加函数
所以，lg[(x1+x2)/2]≥lg(√x1x2)
所以，1/2[f(x1)+f(x2)]≥f[(x1+x2)/2]
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