Question

求下列幂级数在收敛域内的和函数∑(n=1 ∞)n/3^nx^n-1

Answer 1

表达式的这种写法很容易歧义啊, 猜测是∑{1 ≤ n} x^(n-1)·n/3^n.

首先用比值判别法或者根值判别法容易确定幂级数收敛半径为3.
且易见在端点x = ±3处级数发散, 因此收敛域为(-3,3).
幂级数在(-3,3)内闭(绝对)一致收敛.

和函数∑{1 ≤ n} x^(n-1)·n/3^n
= ∑{1 ≤ n} (x^n)'/3^n
= (∑{1 ≤ n} x^n/3^n)'
= (∑{1 ≤ n} (x/3)^n)'
= ((x/3)/(1-x/3))'
= (3/(3-x)-1)'
= 3/(3-x)²