Question

两道高数题目，求大神详解

1、求常数k的值，使得平面y=kz与椭球面2x^2+y^2+4z^2=1的交线为圆。
2、求平面2x-12y-z-16=0与双曲抛物面x^2-4y^2=2z的交线是两条相交直线。

Answer 1

第一题:将y=kz代入椭球面方程，并整理得x^2＋[2＋(k^2)/2)]z^2=1/2①；所以交线圆的半径为1/√2；根据题意，沿平面y=kz的法线方向观察，交线为圆，显然平面x=0、y=kz、椭球面三者交于一点，该点位于交线圆上，该点到椭球中心(坐标原点)的距离即为交线圆的半径，该点到椭球中心的距离为√(y^2＋z^2)=√(k^2*z^2＋z^2)=|z|√(1＋k^2)=1/√2②；另外由①得，当x=0时，√[2＋(k^2)/2]|z|=1/√2③；由②③得√(1＋k^2)=√[2＋(k^2)/2]，所以k=±√2。第二题:太复杂，等一两天。

Answer 2

1)若k=0，则不成立，∴k≠0
将z=y/k代入椭球面方程：2x^2 + y^2[1 + (4/k^2)] = 1，∵交线为圆∴系数相等
∴2 = 1 + (4/k^2)，∴k = 2或-2
2)由2x-12y-z+16=0得2z = 4x-24y+32代入第二个方程得：
x^2-4y^2 = 4x-24y+32，∴(x-2)^2 = 4(y-3)^2 = (2y-6)^2
∴x-2y+4=0 或 x+2y-8=0
即平面与双曲抛物面的交线是2条相交直线