Question

判定反常积分的收敛性

在线等待，不是太清楚思路！

Answer 1

∫(0,+∞)sinx/x^(3/2)dx=∫(0,1)sinx/x^(3/2)dx+∫(1,+∞)sinx/x^(3/2)dx
对∫(0,1)sinx/x^(3/2)dx
∵lim（x→0)[1/x^(1/2)]/[sinx/x^(3/2)]=1
q=1/2<1
∴∫(0,1)sinx/x^(3/2)dx收敛；
对∫(1,+∞)sinx/x^(3/2)dx
∵︱sinx/x^(3/2)︱≤1//x^(3/2)
p=3/2>1
∴∫(1,+∞)sinx/x^(3/2)dx收敛。
总之，∫(0,+∞)sinx/x^(3/2)dx收敛。

追问

分界点为什么是1呢？

追答

随便选的一个点，也可以选其他点，不过大家一般习惯选1这个点。

追问

q=1/2,什么？额，其实图片看着会好点，电脑上输数学式子，难写难看！很累人！

追答

所给的题目既是瑕积分(x=0为瑕点)，又是区间为无穷的反常积分。
所以在解题时把积分分成了0到1和1到正无穷两个部分。
对第一个瑕积分用比较判别法，用于作比较标准的函数是1/x^q，它当q<1时在0到1上收敛，现在q=1/2，故第一个瑕积分收敛。
后面的相信你是懂了的。

追问

在0到1为什么收敛？

追答

根据比较判别法
由于∫(0,1)1/x^(1/2)dx=2,即它收敛
∴∫(0,1)sinx/x^(3/2)dx收敛。

追问

划红线的地方，我不明白为什么前面的极限存在，所以积分就收敛了，不应该求出积分函数，然后0趋于无穷，是要求积分后的函数的吗？瑕点的极限值